La lancia di Crono

"Si narra che Crono, il dio del tempo, avesse una lancia molto speciale. Questa poderosa arma, lanciata dalle mani esperte, aveva la proprietà unica di risultare accelerata esattamente della velocità a cui procedeva. Un giorno decise di scagliare la sua lancia ad un monte distante 100 Km. A quale velocità la lancia giunse sulla vetta, e quanto tempo ci impiegò?

Con che velocità parte dalle mani di Crono? Perché se si assume 0 come velocità iniziale, e quindi zero la sua accelerazione, la sua velocità rimarra costante, ovvero 0. Pertanto non si muoverà.

Asurian ha scritto:

Con che velocità parte dalle mani di Crono? Perché se si assume 0 come velocità iniziale, e quindi zero la sua accelerazione, la sua velocità rimarra costante, ovvero 0. Pertanto non si muoverà.

In virtù del controllo sul tempo, Crono riesce, eccezione alla regola, a scagliare la lancia, nonostante la velocità iniziale sia infinitesima, quasi nulla, ma diversa da 0.

(Asurian fornisce comunque la prima delle due soluzioni del problema!)

A meno di sviste clamorose dal punto di vista logico, dovrebbe valere che:

Sia v0 la velocità iniziale, x0=0 la posizione iniziale

Per definzione:

a(t)= v(t)'

Abbiamo che a(t)= v(t)
e otteniamo quindi l'equazione differenziale:

v(t)=v(t)'

La cui soluzione è (tenedo conto della condizione a contorno):
V(t)=v0exp(t)

Integrando la velocità otteniamo l'equazione per la posizione al tempo t

x(t)= Vo exp(t)+x0=VO exp(t)

Poniamo x = 10^5
e otteniamo per il tempo:

t=ln(10^5/V0)

In quell'instante la velocità è ovviamente:

V(t=ln(10^5/v0))= v0exp(ln(10^5/V0))=10^5

Notare come v0 deve essere non nullo altrimenti non è consentita la divisione

Il ragionamento è esatto come esatta è la soluzione.
Ci tengo a far notare che essendo v0 infinitesimo, anche il tempo tende a infinito!
Questo mostra che Crono era davvero il dio del tempo, se poteva permettersi di scagliare lance che impiegano tempi infiniti per arrivare al bersaglio.

ehm... sarà che io e i numeri non siamo molto amici... ma ci ho capito poco piu di nulla.. :sorr:

o.O erch.... la soluzione sarebbe?
io non ho capito una sola parola di quello che ha detto asurian xD

Diciamo che ci sono due approcci.
Quello "matematico" di dire che poiché l'accelerazione è la derivata della velocità, se queste due sono uguali allora devono essere una funzione che derivata da sé stessa, ma questa funzione per definizione è solo la funzione esponenziale.
Quello "ingegneristico" lavora sui differenziali in maniera più spicciola:

se dV/dT= A=V/secondi e dS/dT=V allora dV/dT=(dS/dT)/secondi e siccome vO è infinitesimo, integrando si ottiene che V=S/secondi ossia che lo spazio equivale alla velocità a costo di dividere i metri dello spazio per i secondi.

Alla fine è un trucco di integrali, ma è interessante da porre perché mostra la potenza della funzione esponenziale!

Interessante......Yakumo chi ti ha posto questo interessante quesito??
oppure dove hai trvato questo quesito??

Comunque davvero interessante.

Citazione :

Ci tengo a far notare che essendo v0 infinitesimo, anche il tempo tende a infinito!

La velocità è invece indipendente da v0!

Citazione :

o.O erch.... la soluzione sarebbe?
io non ho capito una sola parola di quello che ha detto asurian xD

Provo a spiegare in breve la soluzione:

In fisica l'accelerazione è definita come la derivata della velocità (indicata con un apostrofo): detto in modo molto rudimentale è "quanto cambia la velocità al secondo". In realtà come spiegazione è molto imprecisa, ma si intuisce che vuol dire.

Nel nostro caso la velocità è pari all'accelerazione, quindi

v(t)=a(t)=v(t)'

v(t)= v(t)' è una equazione differenziale, ovvero una equazione dove invece che un numero, l'icognita è una funzione.
La soluzione è abbastanza semplice dal punto di vista matematico e troviamo quindi la velocità v(t) come funzione del tempo.

Dato che la funzione x(t), ovvero la posizione al tempo t, è l'integrale della velocità (per integrale si intende la ricerca di una funzione primitiva, ovvero una funzione che derivata dà la funzione di partenza, è il contrario della derivata insomma), otteniamo tutto ciò che ci serve. Ponendo x(t)=100000 otteniamo un valore per t.

Cmq sono tutte cose che si studiano al liceo scientifico e occorre parecchio lavoro per comprenderle. Una volta comprese la questione è molto più semplice.

Citazione :

Interessante......Yakumo chi ti ha posto questo interessante quesito??
oppure dove hai trvato questo quesito??

Comunque davvero interessante.

Più che un quesito direi che è una domanda per una verifica di "metodi matematici di fisica" sulle equazioni differenziali. Ci sono molti problemi simili a questo (decadimento alfa per esempio)