indovinello matematico.

ecco un indovinello che ultimamente mi hanno proposto. mi hanno detto che è vecchiotto quindi sicuramente lo conoscerete gia. io non lo conoscevo e la risposta mi è sembrata molto interessante...

vi sono due stanze separate tra loro. nella stanza A vi sono 1000 interruttori numerati da 1 a 1000 e nella stanza B vi sono 1000 lampadine inizialmente spente. ciascun interruttore cambia lo stato delle lampadine che hanno numero pari al numero dell'interruttore e ai suoi multipli. cioè se premi il numero 1 si accendono tutte le lampadine. se poi premo il 2 ottengo che tutte le dispari sono accese e quelle pari sono spente. se poi premo il 3 ottengo che le pari rimangono spente e se spengono tutte le dispari eccetto la lampadina 1 e cosi via...

domanda: se premo tutti gli interruttori e poi vado nella stanza delle lampadine quali mi aspetto di vedere accese e quali invece mi aspetto di vedere spente?

Allora, una lampadina cambia il suo stato tante volte quante sono i
numeri interi diversi che la dividono. La lampadina è accesa se
questo numero è dispari, è spenta se questo numero è pari.

Il tutto si riduce a trovare quanti sono i divisori.

Proviamo a scomporre un numero x in fattori di numeri primi.
Otteniamo tutti i divisori di x con dei prodotti di questi numeri primi.
Il numero di divisori interi di x è dato dal numero di diverse combinazioni
di fattori di numeri primi che posso comporre, al quale va aggiunto 1
(a causa proprio del numero 1, che non è un numero primo e quindi viene
trascurato nel calcolo)

Prendiamo il numero 72. Esso è diviso da 1, 72,2,36,3,24,4,18,6,12,8,9:
pertanto 12 divisori diversi
72 viene scomposto in 2*3*3*4
Le combinazioni di prodotti diverse che posso ottenere sono:
2
3
4
2*3
2*4
3*3
3*4
2*3*3
2*3*4
3*3*4
2*3*3*4
In totale 11. Va appunto aggiunto 1 per il motivo spiegato prima, e
quindi otteniamo 12, come è giusto che sia

Facciamo l'esempio di 24, diviso per 1,24,2,12,3,8,4,6 quindi 8 numeri
24 è composto da 2*2*2*3
combinazioni diverse:
2
3
2*2
2*3
2*2*2
2*2*3
2*2*2*3
sono 7, a cui si aggiunge 1, ovvero 8 divisori interi totali, come
previsto

Questo calcolo è possibile esprimerlo con una formula neanche troppo
complicata di matematica combinatoria, che esprime quante diverse
combinazioni posso appunto formare considerando gli elementi a
disposizione.

Sono convinto che ci sia un'altra via piu comoda, intuitiva e immediata
, ma mi piace risolvere le cose con un
approccio matematico

Mi pare tuttavia di vedere una "pattern"...non è che solo i numeri che sono dei quadrati di un numero intero sono divisibili per un numero dispari di numeri interi diversi? In fondo posso accoppiare i divisori di x, quindi fare un totale pari, tranne per due divisori uguali di x.

Pertanto mi verrebbe da dire: "tutti i numeri che sono dei quadrati di un numero intero sono accesi (1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...), gli altri sono spenti"

esatto i quadrati perfetti sono accesi! il mio ragionamento è stato esattamente il tuo XD.

complimenti asurian!!!

a dire il vero conoscendo la persona che me l'ha posto io inizialmente cercavo di ragionare in binario per risolverlo XD. secondo me si puo fare.

Ehehe un informatico immagino

In che modo volevi procedere? Un po' come per il pc 0=spento 1=acceso, e considerare l'array delle lampadine come un numero in binario?

E da lì poi cosa avresti voluto fare? sottrarre un numero corrispondente all'accensione di una lampadina?

Sarebbe interessante provare a risolverlo in binario una volta che si trova un po' di tempo...

un fisico anche lui ma patito per l'informatica... cosa che sta prendendo anche me ultimamente XD.

vedere i numeri in base due e mettere quelli in un array. ovvero provare ad immaginare i numeri (variabile integer) con le loro rispettive rappresentazioni binarie (private del primo bit che rappresenta il segno, ovviamente qui sono solo positivi) e costruire cosi un array di numeri in base dieci e poi considerare i loro codici cosi come il computer le conosce... e vedere cosa cambiava azionando gli interruttori... magari qualche traccia, qualche regolarita si trovava... poi ho pensato alle potenze e allora ho capito che il problema è in verita molto elementare XD. ma sai quando conosci molte cose anche le soluzioni piu ovvie vengono meno... sei un fisico dovresti capirmi: ma quanto è bello complicarsi la vita??? XD

avevo pensato anche a ragionare cosi come dici tu... ma regolarita non ne ho trovate, anche se ci sono stati li molto poco.