Gravità quantistica in 2D

Gravità Quantistica in 2D

Tag:
meccanica quantistica, operatori, osservabili
relatività generale, geodetica, simbolo di Christoffel, tensori relativistici
Equazioni di campo di Einstein
onde
Topologia, omeomorfismo, toro

Introduzione


La fisica, dai suoi albori, ha sempre cercato una teorica unificatrice. Una teoria che sola potesse spiegare fenomeni all'apparenza completamente diversi tra loro.
Partendo da Newton, che dimostrò come la forza che fa cadere una mela dall'albero è la stessa che tiene i
corpi celesti in orbita nei sistemi astrofisici, si passò a Maxwell, le cui equazioni unirono elettricità e magnetismo.
Successivamente, alla forza elettromagnetica fu aggiunta un'altra tra le quattro forze elementari: la forza nucleare debole, andando a formare l'interazione elettrodebole.

Uno dei principali obiettivi odierni della fisica teorica è l'unione della meccanica quantistica con la relatività generale.
Vediamo di capire con poche parole di cosa stiamo parlando.

(1) La meccanica quantistica si occupa della materia, della luce e della loro interazione, descrivendo le loro natura duale (corpuscolare e al tempo stesso ondulatoria).

Definisce delle funzioni d'onda per la materia dalla quale può estrarre informazioni (grazie a degli operatori) come posizione, momento ed energia, teorizza i fotoni (ovvero dei “pacchetti di luce”) come costituenti della radiazione elettromagnetica.

Si propone come una generalizzazione della meccanica classica, sviluppata attorno alle tre leggi di Newton
e basata su leggi deterministiche. La fisica quantistica eclissa questa visione determistica, andandola a sostituire con un'interpretazione probabilistica. Alla radice di questa necessità si trova il principio di indeterminazione di Heisenberg:



il quale stabilisce che il prodotto tra l'incertezza su momento e posizione ha un limite inferiore. Questo vuol dire essenzialmente che, tanto più precisamente conosceremo la posizione di una particella, tanto maggiore sarà la nostra incertezza sul suo momento. Viceversa, più siamo precisi nello stabilire il suo momento, minore sarà la nostra precisione sulla sua posizione.


Questa è una legge della natura, non un limite dei nostri apparecchi di misurazione. La legge fisica stessa ci proibisce di conoscere perfettamente queste quantità. In parole molto rudimentali, impossibilitati dall'avere delle certezze tramite delle misurazioni, siamo passati a stabilire delle probabilità su ciascun risultato.


(2) La relatività generale è anche essa una teoria unificatrice: assembla insieme spazio e tempo (prima due “caratteristiche” disgiunte) in un continuo, l'uno in relazione all'altro ed è in grado di interpretare in un nuovo modo la forza gravitazionale.

Alla massa viene infatti attribuita la capacità di deformare il tessuto spazio-temporale attorno a sé, mentre il moto di un corpo avviene sempre lungo una geodetica, ovvero il percorso più breve tra due punti in uno spazio curvato (o, più in generale, di una varietà di Riemann).

Una massa che quindi è in grado di modificare lo spazio può quindi influenzare il moto di un corpo lungo la geodetica.




In termini piuttosto grezzi, la gravità in relatività generale si può immaginare un lenzuolo. Poggiando un pallone da calcio sul lenzuolo si forma una specie di “fossa”.
Mettendo una pallina da ping pong ai margini della fossa, essa discenderà fino alla palla da calcio.
Tutti i tentativi di unire queste due teorie sono fino ad ora falliti miseramente. Sembra tuttavia essersi aperta una via che può portare a risultati interessanti.




Il quesito

Se si pone ad un fisico una domanda, la sua risposta la maggior parte delle volte sarà:
“chiedimi qualcosa di più semplice”.
Se invece di cercare un'unione tra relatività e meccanica quantistica in (3+1) dimensioni, si cercasse una risposta in (2+1) dimensioni, tagliando quindi fuori un grado di libertà spaziale, forse i giochi si fanno più semplici.

Non così semplici tuttavia: alcuni problemi persistono, e purtroppo se ne creano persino di nuovi.
Vediamo ora di elencarli.

(a) Unificare teoria quantistica e relativistica potrebbe sembrare semplicemente la quantizzazione la struttura dello spazio-tempo, così come avvenne per la radiazione e la materia. Tuttavia il principio di indeterminazione di Heisenberg ritornerebbe in una nuova versione, creando un bel problema: spazio e tempo inizierebbero a “fluttuare”.

Di conseguenza, non sarebbe più possibile stabilire posizione, energia e momento di un corpo in un background fluttuante, sancendo in pratica la fine di tutte le quantità su cui la fisica si è sempre basata.

(b)Un secondo problema è il tempo.
Per Newton questo era un concetto assoluto, fuori dalla natura, capace di condizionare la materia ma
non condizionato a sua volta. Una sorta di divinità, per certi versi. La formulazione usuale della meccanica quantistica accetta questa visione del tempo.

La relatività tuttavia ha tolto questa indipendenza e “superiorità” al tempo. Due osservatori che si muovono a velocità diverse registrano uno scorrere del tempo diverso tra due eventi (come ad esempio la caduta di due fulmini). In alcuni sistemi di riferimento, due eventi possono avvenire addirittura simultaneamente, mentre per altri sistemi no.
La massa, capace di deformare lo spazio- tempo, è in grado di dilatare il tempo. Per questo motivo, un orologio in presenza di campo gravitazionale “si muove” più lentamente.

Il tempo non è quindi più un parametro esterno, è un partecipante all'interno dell'universo.

Il tempo è quindi forse un illusione?
La risposta non è tutt'ora certa.

(c) Dal problema del tempo deriva il problema forse più immediato degli operatori.
Gli operatori sono degli oggetti matematici capaci di -passatemi il termine- tirare fuori delle informazioni dalle funzioni d'onda associate ai corpi o alla radiazione luminossa.
Informazioni quali, come detto in precedenza, posizione, momento, velocità, massa ed energia.

Il più famoso degli operatori è senza dubbio l'Hamiltoniana, che ritorna nella celebre equazione di Schrödinger per le funzioni d'onda:


Questi operatori che vivono nella fisica quantistica tuttavia dipendono dallo spazio-tempo, il quale per la relatività generale è solo un'etichetta arbitraria e relativa, e della quale alla fine l'universo non si interessa.
Ma se non vi è un modo obiettivo per descrivere la posizione e il tempo, cade la possibilità di avere informazioni obiettive come energia, posizione, momento, massa,...
Charles Torre ha dimostrato come una teoria quantistica della gravità non possa avere osservabili locali, che dipendano da un singolo punto: si necessità di informazioni non locali, dipendenti da più punti.
Ci si trova ad una sorta di punto morto.

Non risolvendo all'apparenza nessuno di questi problemi, uno spazio (2+1) D sembrerebbe poco allettante, almeno quanto quello a (3+1) D

Tuttavia, cerchiamo di capire prima di tutto come si andrebbe a deformare uno spazio a 2 dimensioni.

Un mondo a 2 dimensioni

Un concittadino di Emperor Chosen, il polacco Andrezej Staruszkiewicz ha scoperto che un oggetto massivo in 2D pieghererrbe lo spazio piano in un cono, come da immagine.



La questione è allettante, dato che questo univero 2D sarebbe esente dall'equivalente della legge di Newton per l'attrazione gravitazionale: la forza di attrazione dipenderebbe infatti dalla velocità di un oggetto, e soprattutto due oggetti a riposo non si attrarrebbero tra di loro, indipendentemente dalla massa. Questa semplicità è allettante, ridurrebbe considerevolmente alcuni problemi nella quantizzazione dello spazio-tempo!

Purtroppo, questa teoria è fin troppo semplice: non rimane nulla da quantizzare.
Il problema principale di questo nuovo universo piatto è infatti l'impossibilità di avere onde gravitazionali.

Le onde gravitazionali, descritte dalla seguente equazione:




sono alla base della teoria di Einstein per la curavuta del tessuto spazio-temporale.

In uno spazio piatto a 2D tuttavia queste non possono esistere: la polarizzazione delle onde gravitazionali avviene infatti in due dimensioni, perpendicolari (e quindi diverse) da quella del moto.
In uno spazio 2D, una delle due due direzioni per la polarizzazione è proibita, come si osserva dall'immagine: abbiamo una dimensione per il moto, un'altra per la polarità, che però ne necessita di una ulteriore.
In conclusione, le onde gravitazionali e la loro controparte corpuscolare, il gravitone, sono escluse da questo universo.



La soluzione

La soluzione a questo problema è piuttosto gustosa: la ciambella!

Più precisamente, considerando la topologia come ulteriore ingrediente della teoria, possiamo fare in modo che la gravità, nonostante non possa propagarsi come onda in 2D, possa comunque avere un ruolo da protagonista nella forma dello spazio-tempo.
Affinché questo possa accadere, il nostro spazio a (2+1)D non può essere un piano, ma occorre che sia un Toro, dalla forma di ciambella.

Per non confondere troppo le idee e iniziare a chiedersi come un possente mammifero possa assumere la forma di un dolce, vediamo di spiegare in breve cosa sia un Toro.


In topologia, un toro è proprio una superficie a forma di ciambella, ottenuta facendo ruotare una circonferenza (detta generatrice) attorno ad un asse di rotazione.
Infatti se tagliate la ciambella ottenete come sezione la circonferenza che lo ha generato.
Notate come il toro sia inteso come superficie di una ciambella, che sia quindi “vuoto” all'interno, e che quindi sia solo a 2 dimensioni.


Un toro può essere trasformato attraverso un omeomorfismo in un rettangolo piatto, o persino in una tazza, come si vede in questa immagine.




Un omeomorfismo è un tipo di trasformazione “senza strappi”, dove lo spazio non viene “tirato”o “contratto”. Si dice che sia una trasformazione “smooth”, liscia, che conserva determinate caratteristiche degli oggetti topologici.


In termini di geometria differenziale, un toro può essere piatto (infatti può essere trasformato in un piano tramite isomorfismo).
In relatività generale, la definizione di spazio piatto è infatti la seguente:

Citazione :

Una varietà Rimaniana è piatta se e solo se il tensore di curvatura di Ricci è nullo in tutti i punti della varietà

ed un toro è in grado di soddisfarla (notare come abbiamo richiamato il tensore di curvatura di ricci nell'equazione delle onde gravitazionali).

* Piccola nota: il toro è una forma geometrica molto interessante anche per altri campi: ad esempio i campi magnetici che si cerca di sviluppare per contenere il plasma in una reazione di fusione nucleare sono a forma toroidale.

Ora la chiave di volta:

Esiste una famiglia infinita di tori piatti, etichettati da un parametro detto modulo.
Ciò che la gravità influenza in un universo a forma di toro è proprio questo modulo, facendolo evolvere nel tempo.

Riassumendo: con questo espediente, la gravità in 2D può quindi esistere, e influenzare l'universo (anche se non può propagarsi attraverso onde gravitazionali).

Questo modello è quantizzabile, volgendo quindi la teoria di gravità classica in una di gravità quantistica.
Anche il problema del tempo e degli operatori trova una possibile soluzione.
Utilizzando come misura di tempo il cambiamento dei moduli, si può ottenere una visione interessante e non-locale di questo paramentro.
Per quanto concerne gli operatori e le conseguenti misure, è possibile che questi vengano formulati in dipendenza ancora una volta dei moduli, e ottenere quindi quantità non-locali, come previsto dalla teoria di Charles Torre!

Questo modello di universo (2+1)D a forma di toro offre anche interessanti prospettive per la trattazione dei wormholes e dei buchi neri, problemi tutt'ora poco chiari alla teoria attuale.

In questo articolo abbiamo quindi potuto osservare come sia forse possibile trovare una base comune per due grandi pilastri della fisica teorica: meccanica quantistica e relatività.
Ridurre il problema a qualcosa di più semplice e cercare soluzioni in altri campi (come in questo caso la topologia), può a volte portare a soluzioni utili, applicabili ad un modello più complesso, e magari trovare risposte anche su altri quesiti inizialmente non considerati.

tu....
santo iddio io non riesco nemmeno a concepire una cosa del genere, penso di aver afferrato il concetto in generale, ma per ora la sua comprensione è al di là della mia portata
non riesco a capire un "oggetto massivo in 2D"

Citazione :

santo iddio io non riesco nemmeno a concepire una cosa del genere, penso di aver afferrato il concetto in generale, ma per ora la sua comprensione è al di là della mia portata

Esponi liberamente le tue domande, cercherò di rispondere al meglio :)

Citazione :

non riesco a capire un "oggetto massivo in 2D"

La questione è in realtà molto semplice. Un oggetto massivo è un oggetto la cui massa, per definizione, è maggiore di zero.
In termini quantistici, questo si può quindi esprimere descrivendo il corpuscolo con una funzione d'onda tale che, applicando il relativo operatore per misurare la massa, dia un autostato maggiore di zero.

Notare come un oggetto massivo non per forza debba avere una dimensione in 2D o 3D, spesso si approssima certi corpi ad oggetti puntiformi (quindi, senza dimensione), ma che mantengono una massa.

Citazione :

Notare come un oggetto massivo non per forza debba avere una dimensione in 2D o 3D, spesso si approssima certi corpi ad oggetti puntiformi (quindi, senza dimensione), ma che mantengono una massa.

tipo una particella subatomica?
o l'ente che aveva concentrata in se tutta la massa dell'universo prima del "big-bang"?

Citazione :

tipo una particella subatomica?

Sì, per esempio.
Per essere più precisi, i barioni (come ad esempio protoni e neutroni) hanno una dimensione piuttosto ben accertata, mentre riguardo ai quark (i loro costituenti) la questione si fa molto più controversa.

Proprio nell'articolo che ho letto la settimana fa, si parlava di come i quark siano per ora ipotizzati come particelle massive senza dimensione, ma che questa affermazione sulla loro dimensione non sia né provata né il suo inverso contraddetto.
Si stanno proprio in questo periodo tentando alcuni esperimenti per misurare le dimensioni dei quark.
Alla base di questa ricerca c'è la volontà di trovare indizi per una nuova teoria in fase di sviluppo: quella dei preoni, che sarebbero le particelle che costituiscono i quark (i quali non sarebbero quindi più visti come particelle elementari).
In particolare, si sta sviluppando una nuova teoria chiamata "super quantocromodinamica" per formulare una base teorica all'origine dei preoni, questi ultimi intesi come senza dimensione.

Risposta un po' lunga e che esula da quanto richiesto, ma è un tema assai interessante, e non è male accennarlo.

Citazione :

o l'ente che aveva concentrata in se tutta la massa dell'universo prima del "big-bang"?

Mmm... in presenza di massa talmente concentrata la topologia dello spazio tempo è talmente alterata (in questo articolo abbiamo visto appunto come la massa è in grando di deformare lo spazio) che leggi, concetti e dimensioni diventano qualcosa di diverso.
In un tale universo topologico non saprei bene come descrivere la "dimensione", o per lo meno, non saprei come ricollegarla alla "nostra versione" di dimensione.
Questo secondo esempio è un po' ostico, più facile attenersi al primo.

i quark, per costituire una suddetta particella subatomica, si riuniscono in strutture dette "stringhe", se non erro

comunque, l'autostato, a cui hai accennato prima immagino sia la condizione in cui si viene a trovare un corpo considerato quando a se stante(immagino appunto), ma quali fattori potrebbero, a livello microscopico intendo, mutare questa "condizione"?

Citazione :

i quark, per costituire una suddetta particella subatomica, si riuniscono in strutture dette "stringhe", se non erro

mmm... si rischia di mischiare un po' le cose.

La teoria delle stringhe è una teorica che cerca di fornire un'estensione al nostro universo a 3+1 dimensioni. Qualsiasi oggetto, corpuscolo, comprese anche le particelle subatomiche, diventano quindi stringhe. Ma non solo quanto viene formato dai quark.

Viceversa, la teoria dei quark è autonoma e non necessita di quella delle stringhe (nulla attualmente sembra necessitarne XD)

I quark vanno a formare gli adroni, che si dividono in due importanti famiglie di particelle: i barioni (di tre quark ciascuno, come il protone o il neutrone ad esempio) e i mesoni (fatti di un quark e un antiquark.

Puoi vedere i quark senza curarti della teoria delle stringhe, e quando parli di teoria delle stringhe parli di qualcosa di molto più ampio dei quark.

Citazione :

comunque, l'autostato, a cui hai accennato prima immagino sia la condizione in cui si viene a trovare un corpo considerato quando a se stante(immagino appunto), ma quali fattori potrebbero, a livello microscopico intendo, mutare questa "condizione"?

Un autostato è, in termini rozzamente rozzi, uno stato "stabile" del sistema.
Una qualiasi perturbazione può alterare l'operatore e quindi l'autostato.
A dipendenza di ciò che stiamo esplorando, perturbazioni nella temperatura, nella posizione, nel momento, nella gravità, nell'energia possono generare queste alterazioni.

In sistemi più complessi come un corpo solido, un cambiamento del campo elettrico può perturbare il reticolo degli elettroni e quindi andare a cambiare l'autostato della funzione d'onda.

ok, tutto più chiaro^^
scusa se ti ho fatto il terzo grado, ma sono argomenti intriganti!

Mmh purtroppo non sono in grado di capire più di tanto, ma la discussione mi ha interessato molto.. Vorrei essere certo di aver capito il perché le onde gravitazionali non possono esistere in due dimensioni. Se un onda gravitazionale si scontrasse con un corpo lo dovrebbe portare a muoversi lungo una direzione che non esiste?
E, per noi ignoranti, potresti spiegare cosa intendi con "polarizzazione delle onde gravitazionali"?

Allora, direi che prima di parlare di onde gravitazionali in 2D, parliamo delle onde in generale e vediamo cosa sia la polarizzazione

Onde

Le onde sono una delle strutture più importanti della fisica.

Descritta in breve, un'onda è la propagazione di un'oscillazione (un'oscillazione è in termini molto rozzi un "cambiamento continuo" attorno a un determinato punto di riferimento)

Un esempio molto banale, ma efficacie, è la corda.


Con un "colpo" genero una oscillazione dell'ampiezza che poi si propaga lungo la corda.

Altri esempi comuni sono le onde del mare (appunto variazioni del livello dell'acqua che si propagano fino alla spiaggia).
Oppure se dai un pugno sul tavolo, generi una vibrazione (oscillazione degli atomi nel reticolo del corpo solido) che si propaga poi lungo tutto il tavolo.

Un tipo di onda molto molto importante è la luce: altro non è che una propagazione dell'oscillazione del campo elettromagnetico.


Torniamo ora alla loro importanza: come mai sono così essenziali in fisica?
La risposta è che sono dei "mezzi di trasporto". Trasportano energia, informazione o, nel caso delle onde gravitazionali, di variazioni della metrica.
Sono originati da sorgenti, luminose nel caso della luce, oggetti massivi nel caso delle onde gravitazionali.

Ora parliamo di polarizzazione.

Polarizzazione delle onde

Come visto, un'onda è la propagazione di una oscillazione. E' quindi composta da due concetti: la direzione della propagazione e la direzione dell'oscillaizione.
La polarizzazione è la direzione dell'oscillazione
Riprendiamo i nostri esempi.
Normalmente si usa un sistema di assi di riferimento x-y-z, ma qui dobbiamo accontentarci di "altro" destra" "basso" e "sinistra"


La direzione di propagazione è da sinistra a destra (nelle prime due immagini) e poi da destra verso sinistra.
La direzione dell'oscillazione (detta appunto "polarizzazione") è basso <---> alto.

La polarizzazione, ovvero la direzione della polarizzazione, non è fissa. Può cambiare.

Per esempio, da basso<---> alto può variare gradualmente a "verso lo schermo<---> fuori dallo schermo".

Già qui si nota il problema della polarizzazione in 2D, devo aggiungere questa nuova direzione "verso lo schermo<---> fuori dallo schermo". L'immagine qui sotto fa vedere il cambiamento della polarizzazione.


Esistono vari tipi di polarizzazione: longitudinale (quindi lungo una linea), circolare (il cambiamento del vettore di polarizzazione è lungo la circonferenza di un cerchio) o ellittica (il vettore di polarizzazione varia lungo una ellisse).
Sopra abbiamo un esempio di polarizzazione circolare.

Problema della polarizzazione in 2D



Lo abbiamo visto nel precedente paragrafo.

La polarizzazione, nel vuoto (nei corpi solidi la questione cambia), è perpendicolare alla direzione della propagazione, ovvero deve formare un angolo retto rispetto a questa. E soprattutto, non può quindi essere nella stessa direzione.

Nel caso di una onda con polarizzazione longitudinale non c'è problema: la direzione di propagazione è lungo l'asse x e quella di polarizzazione lungo l'asse y.

Ma se abbiamo due tipi di oscillazione, come nel caso delle onde elettromagnetiche



Cosa possiamo fare in 2 dimensioni? La propagazione dell'onda è lungo l'asse x, quella del campo magnetico lungo l'asse y, e quella del campo elettrico, che deve essere perpendicolare a entrambe le altre dimensioni, qual è?
Dobbiamo inventarcene una nuova: la z (o "verso lo schermo<---> fuori dallo schermo"), che appunto presuppone una terza dimensione.

Medesimo discorso per le onde con polarizzazione circolare (come nel caso di quelle gravitazionali). La propagazione è lungo l'asse x, ma la polarizzazione deve descrivere un cerchio perpendicolare a questo asse, che deve quindi essere iscritto nelle direzioni y e z: due dimensioni ulteriori. Nel caso 2D, ce ne mancherebbe una

Quindi, per un'onda gravitazionale, servono necessariamente 3 dimensioni: una per la propagazione, due per la polarizzazione.
In 2D, una di queste direzioni è proibita, e l'onda gravitazionale non può esistere

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E' un poco più chiaro adesso? Fate pure altre domande, mi fa molto piacere se sono riuscito a stimolare il vostro interesse :)