Lo splatter.....

Il ragionamento di Bertrand Russell dimostra come sia facile cadere in contraddizione parlando d’insiemi. Nella teoria intuitiva degli insiemi, per definire un insieme è sufficiente definire una caratteristica comune a tutti i suoi elementi; così, per esempio, una proposizione logica del tipo "x è un numero intero divisibile per 2 senza resto", è sufficiente a definire l’insieme dei numeri pari. Questa nozione è solo apparentemente esente da dubbi e difficoltà, come dimostra l’argomentazione seguente.

Introduciamo dapprima il concetto di insiemi che appartengono o non appartengono a sé stessi:

- un insieme appartiene a sé stesso se è elemento di sé stesso (per esempio, l’insieme di tutti i pensieri astratti è a sua volta un pensiero astratto e dunque appartiene a sé stesso);
- un insieme non appartiene a sé stesso se non è elemento di sé stesso (per esempio, l’insieme di tutti gli uomini calvi non è un uomo calvo e dunque non appartiene a sé stesso).

A questo punto consideriamo l’insieme R di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi. La proposizione che caratterizza gli elementi di R è: "A non è un elemento di A" (A è un qualunque sottoinsieme di R, ovvero è sia elemento di R, sia insieme per altri elementi); se la proposizione è vera per A, allora A appartiene a R, altrimenti non vi appartiene. Ci chiediamo se R appartiene o meno a sé stesso (quindi se la proposizione è verificata per A = R):

- se R appartiene a sé stesso allora, per la definizione, R non appartiene a sé stesso;
- se R non appartiene a sé stesso, la proposizione definitoria è verificata, quindi R appartiene a sé stesso.

Otteniamo, dunque, una doppia implicazione: "R appartiene a sé stesso se e solo se [ecco la doppia implicazione] R non appartiene a sé stesso", da cui scaturisce la contraddizione. N.B. La frase "R appartiene a sé stesso se R non appartiene a sé stesso" non è di per sé una contraddizione; è necessaria una condizione più forte, ovvero "se e solo se".